Упр.31.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = x^3 — Зх^2 + 2;
б) у = -х^3 + Зх — 2;
в) у = -x^3 + 6x^2 — 5;
г) у = х^3 — Зх + 2.
а) $$y=x^3-3x^2+2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$y’=(x^3-3x^2+2)’=3x^2-6x=3x(x-2)$$
$$3x(x-2)\ge 0$$
$$x\le 0 \text{ или } x\ge 2$$
$$x=0$$ — точка максимума, $$x=2$$ — точка минимума.
$$y(0)=2,\quad y(2)=8-12+2=-2$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$.
Некоторые точки графика: $$(-1;-2),\ (1;0),\ (3;2)$$.
б) $$y=-x^3+3x-2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$y’=(-x^3+3x-2)’=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$$
$$-3x^2+3\ge 0$$
$$x^2\le 1$$
$$-1\le x\le 1$$
$$x=-1$$ — точка минимума, $$x=1$$ — точка максимума.
$$y(-1)=1-3-2=-4,\quad y(1)=-1+3-2=0$$
Функция возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.
Некоторые точки графика: $$(-2;0),\ (0;-2),\ (2;-4)$$.
в) $$y=-x^3+6x^2-5$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$y’=(-x^3+6x^2-5)’=-3x^2+12x=-3x(x-4)$$
$$-3x(x-4)\ge 0$$
$$0\le x\le 4$$
$$x=0$$ — точка минимума, $$x=4$$ — точка максимума.
$$y(0)=-5,\quad y(4)=-64+96-5=27$$
Функция возрастает на $$[0;4]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$$.
Некоторые точки графика: $$(-2;27),\ (2;11),\ (2;-5)$$.
г) $$y=x^3-3x+2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$y’=(x^3-3x+2)’=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$
$$3x^2-3\ge 0$$
$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
$$x=-1$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума.
$$y(-1)=-1+3+2=4,\quad y(1)=1-3+2=0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$.
Некоторые точки графика: $$(-2;0),\ (0;2),\ (2;4)$$.
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$, убывает на $$[0;2]$$, экстремумы: $$\max(0;2)$$, $$\min(2;-2)$$.
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, экстремумы: $$\min(-1;-4)$$, $$\max(1;0)$$.
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$[0;4]$$, убывает на $$(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$$, экстремумы: $$\min(0;-5)$$, $$\max(4;27)$$.
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$, экстремумы: $$\max(-1;4)$$, $$\min(1;0)$$.
