Упр.31.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3корень(х + 1) = -x^3 + Зx^2 + 6;
б) x^3 — 3x = (x + 1)^6 + 2.

1. Рассмотрим функции $$f(x)=3\sqrt{x+1}$$ и $$g(x)=-x^3+3x^2+6.$$

   Область определения первой функции: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1.$$

   Функция $$f(x)$$ возрастает на всей области определения, так как

   $$f'(x)=\frac{3}{2\sqrt{x+1}}>0.$$

   Для второй функции

   $$g'(x)=-3x^2+6x=3x(2-x).$$

   Значит, $$g(x)$$ возрастает при $$0\le x\le 2.$$

   Проверим общую точку графиков: при $$x=3$$

   $$3\sqrt{3+1}=3\cdot 2=6,$$

   $$-3^3+3\cdot 3^2+6=-27+27+6=6.$$

   Следовательно, графики пересекаются в точке $$\left(3,6\right),$$ значит, решение уравнения:

   $$x=3.$$

2. Рассмотрим функции $$f(x)=x^3-3x$$ и $$g(x)=(x+1)^6+2.$$

   Функция $$f(x)$$ имеет производную

   $$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

   Она возрастает при $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$

   Функция $$g(x)$$ возрастает при всех $$x\ge -1,$$ так как

   $$g'(x)=6(x+1)^5.$$

   Проверим точку $$x=-1$$:

   $$(-1)^3-3(-1)=2,$$

   $$(-1+1)^6+2=2.$$

   Значит, графики пересекаются в точке $$\left(-1,2\right),$$ и решение уравнения:

   $$x=-1.$$

Ответ

а) $$x=3$$; б) $$x=-1$$.