Упр.31.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin 5x — 2cos x — 8x = х^5 — 2;
б) 4cos 3x + 5sin x/2 + 15x = 4 — x^3.

а) Рассмотрим функции

$$f(x)=\sin 5x-2\cos x-8x,$$

$$g(x)=x^5-2.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=5\cos 5x+2\sin x-8,$$

так как $$\cos 5x\le 1$$ и $$\sin x\le 1,$$ то

$$f'(x)\le 5\cdot 1+2\cdot 1-8=-1<0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ убывает на всей числовой прямой.

Для второй функции:

$$g'(x)=5x^4\ge 0,$$

следовательно, функция $$g(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Так как

$$f(0)=\sin 0-2\cos 0-8\cdot 0=-2,$$

$$g(0)=0^5-2=-2,$$

то $$x=0$$ — решение уравнения. Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, это решение единственное.

б) Рассмотрим функции

$$f(x)=4\cos 3x+5\sin \frac{x}{2}+15x,$$

$$g(x)=4-x^3.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=-12\sin 3x+\frac{5}{2}\cos \frac{x}{2}+15,$$

а так как $$\sin 3x\le 1$$ и $$\cos \frac{x}{2}\ge -1,$$ то

$$f'(x)\ge -12\cdot 1+\frac{5}{2}\cdot(-1)+15=\frac12>0.$$

Значит, функция $$f(x)$$ возрастает на всей числовой прямой.

Для второй функции:

$$g'(x)=-3x^2\le 0,$$

следовательно, функция $$g(x)$$ убывает на всей числовой прямой.

Проверим точку $$x=0$$:

$$f(0)=4\cos 0+5\sin 0+15\cdot 0=4,$$

$$g(0)=4-0^3=4.$$

Значит, $$x=0$$ — решение уравнения, и оно единственное.

Ответ

а) $$x=0$$; б) $$x=0$$.