Упр.31.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) x^3 + 5 = 15 — x;
б) х^5 + Зx^3 + 7х — 11 = 0;
в) 2х^5 + Зx^3 = 17 — 12x;
г) х^5 + 4x^3 + 8x — 13 = 0.
а) $$x^3+5=15-x$$
Рассмотрим функции $$f(x)=x^3+5$$ и $$g(x)=15-x$$.
$$f'(x)=3x^2\ge 0,\qquad g'(x)=-1<0.$$
Значит, $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому уравнение имеет единственный корень. Проверим число $$x=2$$:
$$2^3+5=8+5=13,\qquad 15-2=13.$$
Следовательно, $$x=2$$.
б) $$x^5+3x^3+7x-11=0$$
Перепишем уравнение:
$$x^5+3x^3=11-7x.$$
Пусть $$f(x)=x^5+3x^3$$ и $$g(x)=11-7x$$.
$$f'(x)=5x^4+9x^2\ge 0,\qquad g'(x)=-7<0.$$
Значит, $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому корень единственный. Проверим $$x=1$$:
$$1^5+3\cdot 1^3=1+3=4,\qquad 11-7\cdot 1=4.$$
Следовательно, $$x=1$$.
в) $$2x^5+3x^3=17-12x$$
Пусть $$f(x)=2x^5+3x^3$$ и $$g(x)=17-12x$$.
$$f'(x)=10x^4+9x^2\ge 0,\qquad g'(x)=-12<0.$$
Значит, уравнение имеет единственный корень. Проверим $$x=1$$:
$$2\cdot 1^5+3\cdot 1^3=2+3=5,\qquad 17-12\cdot 1=5.$$
Следовательно, $$x=1$$.
г) $$x^5+4x^3+8x-13=0$$
Перепишем уравнение:
$$x^5+4x^3=13-8x.$$
Пусть $$f(x)=x^5+4x^3$$ и $$g(x)=13-8x$$.
$$f'(x)=5x^4+12x^2\ge 0,\qquad g'(x)=-8<0.$$
Следовательно, корень единственный. Проверим $$x=1$$:
$$1^5+4\cdot 1^3=1+4=5,\qquad 13-8\cdot 1=5.$$
Значит, $$x=1$$.
Ответ
а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$1$$; г) $$1$$.
