Упр.31.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции у = х^4 — 2х^2 + 3.
б) При каких значениях параметра а уравнение х^4 — 2х^2 + 3 = а имеет три корня?

Рассмотрим функцию $$y=x^4-2x^2+3.$$

Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+3=x^4-2x^2+3=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty) \\ \hline y’ & — & 0 & + & 0 & — & 0 & + \end{array} $$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (0;1),$$ возрастает на $$(-1;0)$$ и $$ (1;+\infty).$$

Найдём значения в точках экстремума:

$$y(-1)=(-1)^4-2(-1)^2+3=2,$$

$$y(0)=0^4-2\cdot 0^2+3=3,$$

$$y(1)=1^4-2\cdot 1^2+3=2.$$

Следовательно, на графике есть точки $$(-1;2),\ (0;3),\ (1;2).$$ Минимум функции равен $$2,$$ поэтому множество значений:

$$y\in[2;+\infty).$$

Для пункта б) уравнение

$$x^4-2x^2+3=a$$

имеет три корня тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ проходит через точку локального максимума графика, то есть при

$$a=3.$$

Проверка:

$$x^4-2x^2+3=3$$

$$x^4-2x^2=0$$

$$x^2(x^2-2)=0,$$

откуда

$$x=0,\quad x=\pm\sqrt2.$$

Получаем три корня.

Ответ

а) График функции имеет точки экстремума $$(-1;2),\ (0;3),\ (1;2)$$ и множество значений $$[2;+\infty).$$
б) $$a=3.$$