Упр.31.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = (х^2 + 4) / (х^2 — 4);
б) у = (х^2 + 1) / (x^2 — 1).
а) $$y=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$
Область определения:
$$x^2-4\ne 0$$
$$x\ne \pm 2$$
$$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\frac{(-x)^2+4}{(-x)^2-4}=\frac{x^2+4}{x^2-4}=y(x)$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-2$$ и $$x=2$$.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-4}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{4}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}=1$$
Значит, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(x^2+4)'(x^2-4)-(x^2+4)(x^2-4)’}{(x^2-4)^2} =\frac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2} =\frac{-16x}{(x^2-4)^2} $$
Так как знаменатель положителен при всех $x\ne \pm 2$, то знак $y’$ определяется числителем:
$$-16x>0 \iff x<0$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)$$ и убывает при $$x\in(0;2)\cup(2;+\infty)$$.
При $$x=0$$ — точка максимума:
$$y_{\max}=\frac{0^2+4}{0^2-4}=-1$$
Множество значений:
$$y\in(-\infty;-1]\cup(1;+\infty)$$
б) $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$
Область определения:
$$x^2-1\ne 0$$
$$x\ne \pm 1$$
$$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$
Функция чётная, так как
$$y(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}=y(x)$$
Вертикальные асимптоты: $$x=-1$$ и $$x=1$$.
Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x^2-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=1$$
Значит, $$y=1$$ — горизонтальная асимптота.
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2} $$
Так как знаменатель положителен при всех $x\ne \pm 1$, то знак $y’$ определяется числителем:
$$-4x>0 \iff x<0$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0)$$ и убывает при $$x\in(0;1)\cup(1;+\infty)$$.
При $$x=0$$ — точка максимума:
$$y_{\max}=\frac{0^2+1}{0^2-1}=-1$$
Множество значений:
$$y\in(-\infty;-1]\cup(1;+\infty)$$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$, функция чётная, асимптоты $$x=\pm 2$$ и $$y=1$$, максимум в точке $$\left(0;-1\right)$$, $$E(y)=(-\infty;-1]\cup(1;+\infty)$$.
б) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)$$, функция чётная, асимптоты $$x=\pm 1$$ и $$y=1$$, максимум в точке $$\left(0;-1\right)$$, $$E(y)=(-\infty;-1]\cup(1;+\infty)$$.
