Упр.31.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = (2х + 1) / (х^2 + 2);
б) у = (х — 2) / (х^2 + 5).
а) $$y=\frac{2x+1}{x^2+2}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Так как $$x^2+2>0$$ при всех $$x$$, вертикальных асимптот нет. Найдём горизонтальную асимптоту:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x^2+2}=0,$$
значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(2x+1)'(x^2+2)-(2x+1)(x^2+2)’}{(x^2+2)^2} =\frac{2(x^2+2)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^2+2)^2} =\frac{-2x^2-2x+4}{(x^2+2)^2} =-\frac{2(x+2)(x-1)}{(x^2+2)^2}. $$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=1.$$
Так как знаменатель всегда положителен, знак $$y’$$ определяется выражением $$-(x+2)(x-1).$$ Поэтому:
- $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty),$$
- $$y’>0$$ при $$x\in(-2;1).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-2)$$ и $$ (1;+\infty),$$ возрастает на $$(-2;1).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$ y(-2)=\frac{2\cdot(-2)+1}{(-2)^2+2}=\frac{-4+1}{4+2}=-\frac12, $$
$$ y(1)=\frac{2\cdot1+1}{1^2+2}=\frac{3}{3}=1. $$
Значит, точка минимума: $$(-2;-\frac12),$$ точка максимума: $$(1;1).$$
Для построения отметим ещё несколько точек:
$$ y(0)=\frac{1}{2}=\frac12,\qquad y(4)=\frac{9}{18}=\frac12. $$
б) $$y=\frac{x-2}{x^2+5}$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Так как $$x^2+5>0$$ при всех $$x$$, вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-2}{x^2+5}=0,$$
значит, $$y=0$$ — горизонтальная асимптота.
Найдём производную:
$$ y’=\frac{(x-2)'(x^2+5)-(x-2)(x^2+5)’}{(x^2+5)^2} =\frac{x^2+5-2x(x-2)}{(x^2+5)^2} =\frac{-x^2+4x+5}{(x^2+5)^2} =-\frac{(x+1)(x-5)}{(x^2+5)^2}. $$
Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=5.$$
Знак производной:
- $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty),$$
- $$y’>0$$ при $$x\in(-1;5).$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$ (5;+\infty),$$ возрастает на $$(-1;5).$$
Найдём значения в точках экстремума:
$$ y(-1)=\frac{-1-2}{(-1)^2+5}=-\frac{3}{6}=-\frac12, $$
$$ y(5)=\frac{5-2}{5^2+5}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}. $$
Значит, точка минимума: $$(-1;-\frac12),$$ точка максимума: $$(5;\frac{1}{10}).$$
Для построения отметим ещё точки:
$$ y(0)=-\frac25,\qquad y(2)=0. $$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ асимптота $$y=0,$$ минимум $$(-2;-\frac12),$$ максимум $$(1;1).$$
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ асимптота $$y=0,$$ минимум $$(-1;-\frac12),$$ максимум $$(5;\frac{1}{10}).$$
