Упр.31.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = 1 / (x^2 + 1);
б) y = -2 / (x^2 + 4).

1. $$y=\frac{1}{x^2+1}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция чётная, так как

   $$y(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=y(x).$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\left(\frac{1}{x^2+1}\right)’=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}.$$

   Так как $$y'(x)>0$$ при $$x<0$$ и $$y'(x)<0$$ при $$x>0,$$ то функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$

   В точке $$x=0$$ достигается максимум:

   $$y_{\max}=y(0)=\frac{1}{0^2+1}=1.$$

   Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   Множество значений: $$y\in(0;1].$$

2. $$y=-\frac{2}{x^2+4}$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Функция чётная, так как

   $$y(-x)=-\frac{2}{(-x)^2+4}=-\frac{2}{x^2+4}=y(x).$$

   Найдём производную:

   $$y'(x)=\left(-\frac{2}{x^2+4}\right)’=\frac{4x}{(x^2+4)^2}.$$

   Так как $$y'(x)<0$$ при $$x<0$$ и $$y'(x)>0$$ при $$x>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

   В точке $$x=0$$ достигается минимум:

   $$y_{\min}=y(0)=-\frac{2}{0^2+4}=-\frac{1}{2}.$$

   Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$

   Множество значений: $$y\in\left[-\frac{1}{2};0\right).$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, возрастает на $$(-\infty;0],$$ убывает на $$[0;+\infty),$$
максимум $$1$$ при $$x=0,$$ $$y\in(0;1].$$

б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция чётная, убывает на $$(-\infty;0],$$ возрастает на $$[0;+\infty),$$
минимум $$-\frac{1}{2}$$ при $$x=0,$$ $$y\in\left[-\frac{1}{2};0\right).$$