Упр.30.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = |x^3 — 3x|;
б) y = |x — x^3|.

а) $$y=|x^3-3x|.$$

Рассмотрим знак выражения под модулем:

$$x^3-3x=x(x^2-3)=x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3).$$

Отсюда $$x^3-3x\ge 0$$ при $$x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ а при $$x\in(-\infty;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3]$$ имеем $$y=-(x^3-3x)=3x-x^3.$$

1) Если $$x\in[-\sqrt3;0]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ то

$$y=x^3-3x,\qquad y'(x)=3x^2-3=3(x^2-1).$$

$$y'(x)\ge 0 \iff x^2-1\ge 0 \iff x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

С учётом области этого случая получаем возрастание на $$[-\sqrt3;-1]\cup[\sqrt3;+\infty).$$

2) Если $$x\in(-\infty;-\sqrt3]\cup[0;\sqrt3],$$ то

$$y=3x-x^3,\qquad y'(x)=3-3x^2=3(1-x^2).$$

$$y'(x)\ge 0 \iff 1-x^2\ge 0 \iff -1\le x\le 1.$$

С учётом области этого случая получаем возрастание на $$[-1;0]\cup[0;1].$$

Итак, функция возрастает на $$[-\sqrt3;-1]\cup[-1;0]\cup[0;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ то есть на $$[-\sqrt3;1]\cup[\sqrt3;+\infty).$$

Убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[1;\sqrt3].$$

Точки экстремума: $$x=-\sqrt3,\;x=0,\;x=\sqrt3$$ — точки минимума; $$x=-1,\;x=1$$ — точки максимума.

б) $$y=|x-x^3|.$$

Рассмотрим знак выражения под модулем:

$$x-x^3=x(1-x^2)=x(1-x)(1+x).$$

Отсюда $$x-x^3\ge 0$$ при $$x\in[-1;0]\cup[0;1],$$ а при $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$ имеем $$y=-(x-x^3)=x^3-x.$$

1) Если $$x\in[-1;1],$$ то

$$y=x-x^3,\qquad y'(x)=1-3x^2.$$

$$y'(x)\ge 0 \iff 1-3x^2\ge 0 \iff x^2\le \frac13 \iff -\frac{\sqrt3}{3}\le x\le \frac{\sqrt3}{3}.$$

Значит, на этом промежутке функция возрастает на $$\left[-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right]$$ и убывает на $$[-1;-\frac{\sqrt3}{3}]\cup[\frac{\sqrt3}{3};1].$$

2) Если $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ то

$$y=x^3-x,\qquad y'(x)=3x^2-1.$$

$$y'(x)\ge 0 \iff 3x^2-1\ge 0 \iff x\le -\frac{\sqrt3}{3}\text{ или }x\ge \frac{\sqrt3}{3}.$$

С учётом области этого случая получаем возрастание на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

Итак, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;-\frac{\sqrt3}{3}]\cup[\frac{\sqrt3}{3};1].$$

Точки экстремума: $$x=-1,\;x=0,\;x=1$$ — точки минимума; $$x=-\frac{\sqrt3}{3},\;x=\frac{\sqrt3}{3}$$ — точки максимума.

Ответ

а) Возрастает на $$[-\sqrt3;1]\cup[\sqrt3;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-\sqrt3]\cup[1;\sqrt3].$$ Точки минимума: $$x=-\sqrt3,\;0,\;\sqrt3.$$ Точки максимума: $$x=-1,\;1.$$
б) Возрастает на $$(-\infty;-1]\cup\left[-\frac{\sqrt3}{3};\frac{\sqrt3}{3}\right]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;-\frac{\sqrt3}{3}]\cup[\frac{\sqrt3}{3};1].$$ Точки минимума: $$x=-1,\;0,\;1.$$ Точки максимума: $$x=-\frac{\sqrt3}{3},\;\frac{\sqrt3}{3}.$$