Упр.30.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = |x — 3| — 2;
б) y = |1/x — 1|;
в) y = |(x — 2)(x + 3)|;
г) y = (|x| — 2)|x|.

1. а) $$y=|x-3|-2$$

   Если $$x\ge 3,$$ то

   $$y=x-3-2=x-5,$$

   откуда $$y’=1>0.$$

   Если $$x<3,$$ то

   $$y=-(x-3)-2=1-x,$$

   откуда $$y’=-1<0.$$

   Значит, функция убывает на $$(-\infty;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty).$$ В точке $$x=3$$ достигается минимум.

2. б) $$y=\left|\frac{1}{x}-1\right|$$, $$x\ne 0.$$

   Рассмотрим знак выражения под модулем:

   $$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}.$$

   Оно неотрицательно при $$0<x\le 1,$$ а отрицательно при $$x<0$$ и $$x>1.$$

   Если $$0<x\le 1,$$ то

   $$y=\frac{1}{x}-1,\qquad y’=-\frac{1}{x^2}<0.$$

   Если $$x<0$$ или $$x>1,$$ то

   $$y=1-\frac{1}{x},\qquad y’=\frac{1}{x^2}>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$[0;1].$$ Минимум достигается при $$x=1.$$

3. в) $$y=\left|(x-2)(x+3)\right|$$

   Знак выражения под модулем определяем из неравенства

   $$ (x-2)(x+3)\ge 0.$$

   Отсюда $$x\le -3$$ или $$x\ge 2.$$

   Если $$x\le -3$$ или $$x\ge 2,$$ то

   $$y=(x-2)(x+3)=x^2+x-6,$$

   $$y’=2x+1.$$

   Если $$-3\le x\le 2,$$ то

   $$y=-(x-2)(x+3)=6-x-x^2,$$

   $$y’=-1-2x.$$

   На промежутках монотонности получаем:

   $$2x+1\ge 0 \iff x\ge -\frac12,$$

   $$-1-2x\ge 0 \iff x\le -\frac12.$$

   Значит, функция возрастает на $$[-3;-\frac12]$$ и $$[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[-\frac12;2].$$

   Точки $$x=-3$$ и $$x=2$$ — точки минимума, $$x=-\frac12$$ — точка максимума.

4. г) $$y=(|x|-2)|x|$$

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и

   $$y=(x-2)x=x^2-2x,\qquad y’=2x-2.$$

   Если $$x\le 0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

   $$y=(-x-2)(-x)=x^2+2x,\qquad y’=2x+2.$$

   Тогда функция возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1].$$

   Точки $$x=-1$$ и $$x=1$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;3]$$, возрастает на $$[3;+\infty)$$; минимум при $$x=3$$.
б) возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$[0;1]$$; минимум при $$x=1$$.
в) возрастает на $$[-3;-\frac12]$$ и $$[2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-3]$$ и $$[-\frac12;2]$$; минимумы при $$x=-3$$ и $$x=2,$$ максимум при $$x=-\frac12$$.
г) возрастает на $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1]$$; минимумы при $$x=-1$$ и $$x=1,$$ максимум при $$x=0$$.