Упр.30.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y = x — 2cos x, x принадлежит [-пи; пи];
б) y = 2sin x — x, x принадлежит [пи; 3пи];

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=x-2\cos x,\quad x\in[-\pi;\pi].$$

Найдём производную:

$$y’=(x-2\cos x)’=1+2\sin x.$$

Критические точки найдём из уравнения $$1+2\sin x=0,$$ то есть

$$\sin x=-\frac12.$$

На отрезке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:

$$x=-\frac{5\pi}{6},\quad x=-\frac{\pi}{6}.$$

Исследуем знак производной:

$$y’>0 \text{ при } x\in\left[-\pi;-\frac{5\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{6};\pi\right],$$

$$y'<0 \text{ при } x\in\left(-\frac{5\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right).$$

Значит, в точке $$x=-\frac{5\pi}{6}$$ функция меняет возрастание на убывание, поэтому это точка максимума, а в точке $$x=-\frac{\pi}{6}$$ функция меняет убывание на возрастание, поэтому это точка минимума.

б) Рассмотрим функцию $$y=2\sin x-x,\quad x\in[\pi;3\pi].$$

Найдём производную:

$$y’=(2\sin x-x)’=2\cos x-1.$$

Критические точки найдём из уравнения $$2\cos x-1=0,$$ то есть

$$\cos x=\frac12.$$

На отрезке $$[\pi;3\pi]$$ получаем:

$$x=\frac{5\pi}{3},\quad x=\frac{7\pi}{3}.$$

Исследуем знак производной:

$$y'<0 \text{ при } x\in\left[\pi;\frac{5\pi}{3}\right)\cup\left(\frac{7\pi}{3};3\pi\right],$$

$$y’>0 \text{ при } x\in\left(\frac{5\pi}{3};\frac{7\pi}{3}\right).$$

Следовательно, в точке $$x=\frac{5\pi}{3}$$ функция меняет убывание на возрастание, значит это точка минимума, а в точке $$x=\frac{7\pi}{3}$$ функция меняет возрастание на убывание, значит это точка максимума.