Упр.30.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) y = х^3/3 — 5/2 x^2 + 6x — 1;
б) y = х^3 — 27х + 26;
в) у = х^3 — 7х^2 — 5х + 11;
г) у = -2х^3 + 21х^2 + 19.
а) $$y=\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x-1$$
Найдём производную:
$$y’=\left(\frac{x^3}{3}-\frac{5}{2}x^2+6x-1\right)’=x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
Критические точки: $$x=2$$ и $$x=3$$.
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<2 \text{ и } x>3,\qquad y'<0 \text{ при } 2<x<3.$$
Значит, в точке $$x=2$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.
б) $$y=x^3-27x+26$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3-27x+26)’=3x^2-27=3(x^2-9)=3(x-3)(x+3).$$
Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=3$$.
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-3 \text{ и } x>3,\qquad y'<0 \text{ при } -3<x<3.$$
Следовательно, в точке $$x=-3$$ — максимум, в точке $$x=3$$ — минимум.
в) $$y=x^3-7x^2-5x+11$$
Найдём производную:
$$y’=(x^3-7x^2-5x+11)’=3x^2-14x-5=(3x+1)(x-5).$$
Критические точки: $$x=-\frac13$$ и $$x=5$$.
Знак производной:
$$y’>0 \text{ при } x<-\frac13 \text{ и } x>5,\qquad y'<0 \text{ при } -\frac13<x<5.$$
Значит, в точке $$x=-\frac13$$ — максимум, в точке $$x=5$$ — минимум.
г) $$y=-2x^3+21x^2+19$$
Найдём производную:
$$y’=(-2x^3+21x^2+19)’=-6x^2+42x=-6x(x-7).$$
Критические точки: $$x=0$$ и $$x=7$$.
Знак производной:
$$y'<0 \text{ при } x<0 \text{ и } x>7,\qquad y’>0 \text{ при } 0<x<7.$$
Следовательно, в точке $$x=0$$ — минимум, в точке $$x=7$$ — максимум.
Ответ
а) $$x=2$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума;
б) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=3$$ — точка минимума;
в) $$x=-\frac13$$ — точка максимума, $$x=5$$ — точка минимума;
г) $$x=0$$ — точка минимума, $$x=7$$ — точка максимума.
