Упр.30.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = 2x + 8/x;
б) y = корень(2x — 1);
в) y = x/5 + 5/x;
г) y = x — 3^4.

1. а) $$y=2x+\frac{8}{x}$$

   Найдём производную:
   $$y’ = 2 — \frac{8}{x^2} = \frac{2x^2-8}{x^2} = \frac{2(x-2)(x+2)}{x^2}.$$
   Критические точки: $$x=\pm 2,$$ при этом $$x=0$$ не входит в область определения.

   Знак производной:
   $$y’>0 \text{ при } x<-2 \text{ и } x>2,$$
   $$y'<0 \text{ при } -2<x<0 \text{ и } 0<x<2.$$
   Значит, в точке $$x=-2$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

2. б) $$y=\sqrt{2x-1}$$

   Область определения:
   $$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
   Производная:
   $$y’=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}.$$
   На области определения при $$x>\frac12$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает на всей своей области определения.

   В точке $$x=\frac12$$ производная не существует, но это левый конец области определения, поэтому экстремума внутри области нет.

3. в) $$y=\frac{x}{5}+\frac{5}{x}$$

   Найдём производную:
   $$y’=\frac15-\frac{5}{x^2}=\frac{x^2-25}{5x^2}=\frac{(x-5)(x+5)}{5x^2}.$$
   Критические точки: $$x=\pm 5,$$ при этом $$x=0$$ не входит в область определения.

   Знак производной:
   $$y’>0 \text{ при } x<-5 \text{ и } x>5,$$
   $$y'<0 \text{ при } -5<x<0 \text{ и } 0<x<5.$$
   Следовательно, в точке $$x=-5$$ — максимум, а в точке $$x=5$$ — минимум.

4. г) $$y=x-3^4$$

   Так как $$3^4=81,$$ то
   $$y=x-81.$$
   Тогда
   $$y’=1.$$
   Производная всюду положительна, значит функция возрастает на всей области определения и точек экстремума не имеет.

Ответ

а) максимум при $$x=-2$$, минимум при $$x=2$$;
б) экстремумов нет;
в) максимум при $$x=-5$$, минимум при $$x=5$$;
г) экстремумов нет.