Упр.30.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = 7 + bx — x^2 — x^3;
б) у = -2корень(х + 3) + bx;
в) у = x^3 + bx^2 + 3x + 21;
г) y = -2bx + корень(1 — x)?

Подробный ответ

$$y=7+bx-x^2-x^3$$
Найдём производную:
$$y'(x)=b-2x-3x^2.$$
Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы
$$b-2x-3x^2\le 0$$
при всех $$x$$. Это равносильно неравенству
$$3x^2+2x-b\ge 0.$$
Квадратичная функция неотрицательна при всех $$x$$, если её дискриминант не положителен:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-b)=4+12b=4(1+3b)\le 0.$$
Отсюда
$$1+3b\le 0,\qquad b\le -\frac13.$$
$$y=-2\sqrt{x+3}+bx$$
Область определения: $$x\ge -3$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=-2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}+b=b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}.$$
Для убывания на всей области определения нужно
$$b-\frac{1}{\sqrt{x+3}}\le 0$$
при всех $$x\ge -3$$.
Так как $$\frac{1}{\sqrt{x+3}}>0$$, это возможно только при
$$b\le 0.$$
$$y=x^3+bx^2+3x+21$$
Найдём производную:
$$y'(x)=3x^2+2bx+3.$$
Чтобы функция убывала на всей области определения, нужно, чтобы
$$3x^2+2bx+3\le 0$$
при всех $$x$$. Но старший коэффициент равен $$3>0$$, значит при больших $$|x|$$ выражение $$3x^2+2bx+3$$ положительно. Следовательно, такое невозможно ни при каком $$b$$.
$$y=-2bx+\sqrt{1-x}$$
Область определения: $$x\le 1$$.
Найдём производную:
$$y'(x)=-2b-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.$$
Так как $$\frac{1}{2\sqrt{1-x}}>0$$ при $$x<1$$, то
$$y'(x)<0$$
для всех $$x<1$$, если $$b\ge 0$$. При $$b<0$$ производная может стать положительной, поэтому это не подходит.
Значит, функция убывает на всей области определения при
$$b\ge 0.$$