Упр.30.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = x^3 + ах;
б) у = x^3 / 3 — ах^2 + 5x — 3?

Подробный ответ

а) $$y=x^3+ax$$

Найдём производную:

$$y'(x)=3x^2+a.$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$y'(x)\ge 0$$

при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Так как $$3x^2\ge 0$$ для любого $$x$$, минимальное значение выражения $$3x^2+a$$ достигается при $$x=0$$. Значит,

$$a\ge 0.$$

б) $$y=\frac{x^3}{3}-ax^2+5x-3$$

Найдём производную:

$$y'(x)=x^2-2ax+5.$$

Для возрастания на всей числовой прямой нужно, чтобы

$$x^2-2ax+5\ge 0$$

при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Это квадратный трёхчлен с положительным старшим коэффициентом. Он неотрицателен при всех $$x$$ тогда и только тогда, когда его дискриминант не положителен:

$$D=(-2a)^2-4\cdot 1\cdot 5=4a^2-20\le 0.$$

Отсюда

$$a^2\le 5,$$

$$-\sqrt{5}\le a\le \sqrt{5}.$$