Упр.30.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = -х^3 — 5x + 3 убывает на (-бесконечность; +бесконечность);
б) у = -2x^5 — 7x^3 — x + 8 убывает на (-бесконечность; +бесконечность);
в) у = -x^3 + Зx^2 — 6x + 1 убывает на (-бесконечность; +бесконечность);
г) у = -4x^3 + 4x^2 — 2x + 9 убывает на (-бесконечность; +бесконечность).

Подробный ответ

Найдём производные данных функций и покажем, что они не положительны при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Тогда функции убывают на всей числовой прямой.

а) $$y=-x^3-5x+3$$

$$ y'(x)=-(x^3)’+(-5x+3)’=-3x^2-5. $$
Так как $$x^2 \ge 0$$, то $$-3x^2 \le 0$$, значит
$$ y'(x)=-3x^2-5<0 $$ при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

б) $$y=-2x^5-7x^3-x+8$$

$$ y'(x)=-2(x^5)’-7(x^3)’+(-x+8)’=-10x^4-21x^2-1. $$
Так как $$x^4 \ge 0$$ и $$x^2 \ge 0$$, то
$$ y'(x)=-10x^4-21x^2-1<0 $$ при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

в) $$y=-x^3+3x^2-6x+1$$

$$ y'(x)=-(x^3)’+3(x^2)’+(-6x+1)’=-3x^2+6x-6. $$
Рассмотрим неравенство:
$$ -3x^2+6x-6 \le 0. $$
Умножим на $$-1$$:
$$ 3x^2-6x+6 \ge 0. $$
Дискриминант:
$$ D=(-6)^2-4\cdot 3 \cdot 6=36-72=-36<0. $$ Так как старший коэффициент положителен, то $$3x^2-6x+6>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R}$$, значит
$$ y'(x)<0 $$ при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.

г) $$y=-4x^3+4x^2-2x+9$$

$$ y'(x)=-4(x^3)’+4(x^2)’+(-2x+9)’=-12x^2+8x-2. $$
Проверим знак производной:
$$ -12x^2+8x-2 \le 0. $$
Умножим на $$-1$$:
$$ 12x^2-8x+2 \ge 0. $$
Дискриминант:
$$ D=(-8)^2-4\cdot 12 \cdot 2=64-96=-32<0. $$ Так как старший коэффициент положителен, то $$12x^2-8x+2>0$$ при всех $$x \in \mathbb{R}$$, значит
$$ y'(x)<0 $$ при всех $$x \in \mathbb{R}$$. Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty)$$.