Упр.30.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = корень(3x — 1);
б) у = корень(1 — x) + 2x;
в) у = корень(1 — 2x);
г) у = корень(2х — 1) — x.
а) $$y=\sqrt{3x-1}$$
Область определения:
$$3x-1\ge 0,\quad x\ge \frac13.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}.$$
На области определения $$y’>0$$, значит функция возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right).$$
б) $$y=\sqrt{1-x}+2x$$
Область определения:
$$1-x\ge 0,\quad x\le 1.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+2=\frac{4\sqrt{1-x}-1}{2\sqrt{1-x}}.$$
Критическая точка:
$$4\sqrt{1-x}-1=0,$$
$$4\sqrt{1-x}=1,$$
$$\sqrt{1-x}=\frac14,$$
$$1-x=\frac1{16},\quad x=\frac{15}{16}.$$
Так как знаменатель положителен на области определения, знак $$y’$$ определяется числителем. Поэтому функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right].$$
в) $$y=\sqrt{1-2x}$$
Область определения:
$$1-2x\ge 0,\quad x\le \frac12.$$
Найдём производную:
$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}.$$
На области определения $$y'<0$$, значит функция убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right].$$
г) $$y=\sqrt{2x-1}-x$$
Область определения:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-1=\frac{1-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}.$$
Критическая точка:
$$1-\sqrt{2x-1}=0,$$
$$\sqrt{2x-1}=1,$$
$$2x-1=1,\quad x=1.$$
На промежутке $$\left[\frac12;1\right]$$ функция возрастает, а на $$\left[1;+\infty\right)$$ убывает.
Ответ
а) возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right)$$;
б) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$, убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right]$$;
в) убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right]$$;
г) возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$, убывает на $$\left[1;+\infty\right)$$.
