Упр.30.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = х^4 — 2х^2 — 3;
б) у = -х^5 — х;
в) у = -3x^4 + 4x^3 — 15;
г) y = 5x^5 — 1.
а) $$y=x^4-2x^2-3$$
Найдём производную:
$$y’=(x^4-2x^2-3)’=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$
Исследуем знак производной:
$$y'<0 \text{ на } (-\infty;-1)\cup(0;1),$$
$$y’>0 \text{ на } (-1;0)\cup(1;+\infty).$$Значит, функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$ и возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty).$$
б) $$y=-x^5-x$$
Найдём производную:
$$y’=(-x^5-x)’=-5x^4-1.$$
Так как $$x^4\ge 0,$$ то $$-5x^4-1<0$$ при всех $$x.$$
Следовательно, функция убывает на всей числовой прямой.
в) $$y=-3x^4+4x^3-15$$
Найдём производную:
$$y’=(-3x^4+4x^3-15)’=-12x^3+12x^2=12x^2(1-x).$$
Критические точки: $$x=0,\;1.$$
Так как $$12x^2\ge 0,$$ знак производной определяется множителем $$1-x.$$
$$y’>0 \text{ при } x<1,\qquad y'<0 \text{ при } x>1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty).$$
г) $$y=5x^5-1$$
Найдём производную:
$$y’=(5x^5-1)’=25x^4.$$
Так как $$25x^4\ge 0$$ при всех $$x,$$ функция возрастает на всей числовой прямой.
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$, возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$;
б) убывает на всей числовой прямой;
в) возрастает на $$(-\infty;1]$$, убывает на $$[1;+\infty)$$;
г) возрастает на всей числовой прямой.
