Упр.3.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
Если да, то задайте обратную функцию аналитически, постройте график заданной и обратной функций:
а) у = х2 + 4х — 8, х принадлежит [-3; 0];
б) у = х2 + 4х — 8, х принадлежит (- бесконечность; -2);
в) у = -х2 + 2х + 6, х принадлежит [0; 3];
г) у = -х2 + 2х + 6, х принадлежит [3; + бесконечность).
а) $$y=x^2+4x-8,\quad x\in[-3;0]$$
Найдём абсциссу вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2.$$
Точка минимума принадлежит отрезку $$[-3;0]$$, значит на этом промежутке функция сначала убывает, затем возрастает. Следовательно, она не является взаимно однозначной, обратная функция не существует.
б) $$y=x^2+4x-8,\quad x\in(-\infty;-2)$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-2,\qquad y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)-8=-12.$$
На промежутке $$(-\infty;-2)$$ функция монотонно убывает, значит обратная функция существует.
Приведём к квадрату:
$$y=x^2+4x-8=(x+2)^2-12.$$
Тогда
$$x+2=-\sqrt{y+12},$$
так как при $$x<-2$$ имеем $$x+2<0$$.
Следовательно,
$$f^{-1}(x)=-\sqrt{x+12}-2,\quad x>-12.$$
в) $$y=-x^2+2x+6,\quad x\in[0;3]$$
Абсцисса вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1.$$
Точка максимума лежит внутри промежутка $$[0;3]$$, поэтому на нём функция сначала возрастает, затем убывает. Значит, обратная функция не существует.
г) $$y=-x^2+2x+6,\quad x\in[3;+\infty)$$
Вершина параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=1,\qquad y_0=-1+2+6=7.$$
На промежутке $$[3;+\infty)$$ функция монотонно убывает, значит обратная функция существует.
Запишем функцию в виде квадрата:
$$y=-x^2+2x+6=-(x-1)^2+7.$$
Тогда
$$ (x-1)^2=7-y.$$
Так как $$x\ge 3$$, то $$x-1\ge 2>0$$, значит
$$x-1=\sqrt{7-y}.$$
Следовательно,
$$f^{-1}(x)=\sqrt{7-x}+1,\quad x\le 3.$$
Ответ
а) обратная функция не существует;
б) $$f^{-1}(x)=-\sqrt{x+12}-2,\quad x>-12;$$
в) обратная функция не существует;
г) $$f^{-1}(x)=\sqrt{7-x}+1,\quad x\le 3.$$
