Упр.29.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) На оси у взята точка В, из неё проведены касательные к графику функции у = корень(3)/2 х^2 + корень(3)/2.
Известно, что эти касательные образуют между собой угол 60. Найдите координаты точки В.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = корень(3)/6 (1 — х^2),
которые пересекаются под углом 120 в точке, лежащей на оси у.

а) Пусть точки касания имеют абсциссы $$x=a_1$$ и $$x=a_2.$$ Тогда для функции

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

имеем

$$f'(x)=\sqrt{3}x,$$

поэтому угловые коэффициенты касательных равны

$$k_1=\sqrt{3}a_1,\qquad k_2=\sqrt{3}a_2.$$

Так как касательные пересекаются в точке на оси $$y,$$ их свободные члены равны:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a_1^2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}a_2^2,$$

откуда

$$a_1^2=a_2^2,\qquad a_1=\pm a_2.$$

Угол между касательными равен $$60^\circ,$$ значит

$$\tan 60^\circ=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\sqrt{3}.$$

Подставим $$k_1=\sqrt{3}a_1,\ k_2=\sqrt{3}a_2$$:

$$\left|\frac{\sqrt{3}(a_1-a_2)}{1+3a_1a_2}\right|=\sqrt{3},$$

то есть

$$|a_1-a_2|=|1+3a_1a_2|.$$

С учётом $$a_1=\pm a_2$$ получаем два случая.

1) $$a_1=a_2$$ — тогда касательные совпадают, это не подходит.

2) $$a_1=-a_2.$$ Тогда

$$|2a_1|=|1-3a_1^2|.$$

Пусть $$a_2=t,\ a_1=-t.$$ Тогда

$$2|t|=|1-3t^2|.$$

Подходит $$t=1$$ и $$t=\frac13.$$

Для $$t=1$$ получаем точку пересечения касательных на оси $$y$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 1^2=0,$$

то есть $$B_2(0;0).$$

Для $$t=\frac13$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(\frac13\right)^2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{18}=\frac{4\sqrt{3}}{9}.$$

Значит, $$B_1\left(0;\frac{4\sqrt{3}}{9}\right).$$

б) Пусть

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2).$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x.$$

Касательная в точке $$x=a$$ имеет вид

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

После преобразования:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}a(x-a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a^2-2ax).$$

Её угловой коэффициент:

$$k=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Пусть касательные соответствуют параметрам $$a_1$$ и $$a_2.$$ Так как они пересекаются в точке на оси $$y,$$ их свободные члены равны:

$$\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a_1^2)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a_2^2),$$

откуда

$$a_1^2=a_2^2,\qquad a_1=\pm a_2.$$

Угол между ними равен $$120^\circ,$$ значит

$$\tan 120^\circ=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\sqrt{3}.$$

Подставим $$k_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}a_1,\ k_2=-\frac{\sqrt{3}}{3}a_2$$:

$$\left|\frac{a_1-a_2}{1+\frac{a_1a_2}{3}}\right|=\sqrt{3}.$$

При $$a_1=-a_2$$ получаем

$$\left|\frac{2a_1}{1-\frac{a_1^2}{3}}\right|=\sqrt{3}.$$

Пусть $$a_2=t,\ a_1=-t.$$ Тогда

$$\frac{2|t|}{\left|1-\frac{t^2}{3}\right|}=\sqrt{3}.$$

Подходящие значения: $$t=1$$ и $$t=3.$$

Тогда соответствующие касательные:

при $$a=1$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+1-2x)=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x),$$

при $$a=-1$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x),$$

при $$a=3$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+9-6x)=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x),$$

при $$a=-3$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x).$$

Ответ

а) $$B_1\left(0;\frac{4\sqrt{3}}{9}\right),\ B_2(0;0).$$

б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1+x),\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}(1-x),\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x),\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$