Упр.29.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Составьте уравнение касательной к графику функции у = x^3, х > 0,
отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2/3.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = x^3, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 27/8.

1. а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a,\ a>0.$$ Тогда

   $$f(a)=a^3,\qquad f'(x)=3x^2,\qquad f'(a)=3a^2.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=a^3+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3.$$

   Найдём точки пересечения с осями:

   $$y(0)=-2a^3,$$

   $$3a^2x-2a^3=0 \;\Rightarrow\; x=\frac{2a}{3}.$$

   Площадь треугольника:

   $$S=\frac12\cdot \left|\frac{2a}{3}\right|\cdot \left|-2a^3\right|=\frac{2a^4}{3}.$$

   По условию $$\frac{2a^4}{3}=\frac23,$$ значит

   $$a^4=1,\qquad a=1.$$

   Тогда

   $$y=3x-2.$$

2. б) Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a,\ a<0.$$ Аналогично получаем касательную

   $$y=3a^2x-2a^3.$$

   Площадь треугольника равна

   $$S=\frac12\cdot \left|\frac{2a}{3}\right|\cdot \left|-2a^3\right|=\frac{2a^4}{3}.$$

   По условию

   $$\frac{2a^4}{3}=\frac{27}{8},$$

   откуда

   $$16a^4=81,\qquad a^4=\frac{81}{16},\qquad a=-\frac32.$$

   Подставим в уравнение касательной:

   $$y=3\left(-\frac32\right)^2x-2\left(-\frac32\right)^3=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$

Ответ

а) $$y=3x-2$$; б) $$y=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}$$.