Упр.29.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите все значения а, при каждом из которых касательная к графику функции у = cos 7x + 7cos x
в точках с абсциссой а параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой пи/6.
б) Найдите все значения а, при каждом из которых касательные к графикам функций у = 2 — 14sin 3x
и у = 6sin 7x в точках с абсциссой а параллельны.

а) Для функции $$f(x)=\cos 7x+7\cos x$$ найдём производную:

$$f'(x)=-7\sin 7x-7\sin x.$$

Уголовой коэффициент касательной в точке $$x=\frac{\pi}{6}$$:

$$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-7\sin\frac{7\pi}{6}-7\sin\frac{\pi}{6}=7\cdot\frac12-7\cdot\frac12=0.$$

Чтобы касательная в точке с абсциссой $$a$$ была параллельна этой касательной, нужно

$$f'(a)=0,$$

то есть

$$-7\sin 7a-7\sin a=0.$$

Тогда

$$\sin 7a+\sin a=0,$$

$$2\sin 4a\cos 3a=0.$$

Отсюда:

$$\sin 4a=0 \quad \text{или} \quad \cos 3a=0.$$

1) $$\sin 4a=0 \Rightarrow 4a=\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$\cos 3a=0 \Rightarrow 3a=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

б) Для функций $$f(x)=2-14\sin 3x$$ и $$g(x)=6\sin 7x$$ найдём производные:

$$f'(x)=-42\cos 3x,$$

$$g'(x)=42\cos 7x.$$

Касательные параллельны, если

$$f'(a)=g'(a),$$

то есть

$$-42\cos 3a=42\cos 7a.$$

Получаем

$$\cos 7a+\cos 3a=0,$$

$$2\cos 5a\cos 2a=0.$$

Следовательно,

$$\cos 5a=0 \quad \text{или} \quad \cos 2a=0.$$

1) $$\cos 5a=0 \Rightarrow 5a=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.$$

2) $$\cos 2a=0 \Rightarrow 2a=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow a=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

а) $$a=\frac{\pi n}{4}$$ или $$a=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \; n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$a=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$a=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \; n\in\mathbb{Z}.$$