Упр.29.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

которые пересекаются под углом 120 в точке, лежащей на оси у.

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$x=a$$. Тогда

$$f(x)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2), \qquad f'(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}x,$$

поэтому угловой коэффициент касательной в точке $$a$$ равен

$$k=f'(a)=-\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Подставим:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-a^2)-\frac{\sqrt{3}}{3}a(x-a)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a^2-2ax).$$

Если две касательные пересекаются в точке, лежащей на оси $$y$$, то их ординаты при $$x=0$$ равны:

$$\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a_1^2)=\frac{\sqrt{3}}{6}(1+a_2^2),$$

откуда

$$a_1^2=a_2^2 \quad \Rightarrow \quad a_2=-a_1.$$

Пусть $$a_1=a$$, тогда $$a_2=-a$$. Угловые коэффициенты касательных:

$$k_1=-\frac{\sqrt{3}}{3}a, \qquad k_2=\frac{\sqrt{3}}{3}a.$$

По формуле угла между прямыми:

$$\tan 120^\circ=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}.$$

Так как $$\tan 120^\circ=-\sqrt{3},$$ получаем

$$-\sqrt{3}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}a- \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)}{1-\frac{a^2}{3}}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}a}{1-\frac{a^2}{3}}.$$

Упростим:

$$-\sqrt{3}\left(1-\frac{a^2}{3}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}a,$$

$$-3+a^2=2a,$$

$$a^2-2a-3=0,$$

$$\left(a-3\right)\left(a+1\right)=0.$$

Значит, $$a=3$$ или $$a=-1$$. Соответственно, получаем пары касательных:

при $$a=-1$$ и $$a=1$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1), \qquad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1);$$

при $$a=-3$$ и $$a=3$$:

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x), \qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$

Ответ

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1), \qquad y=-\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1),$$

$$y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5+3x), \qquad y=\frac{\sqrt{3}}{3}(5-3x).$$