Упр.29.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если:
а) А (-1; 2);
б) А (0; 0);
в) А (0; -3);
г) А (-1; 1).
Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a$$. Тогда
$$f(x)=x^2+1,\qquad f(a)=a^2+1,\qquad f'(x)=2x,\qquad f'(a)=2a.$$
Уравнение касательной к графику функции в точке $$x=a$$:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=(a^2+1)+2a(x-a)=2ax+1-a^2.$$
а) $$A(-1;2)$$
Подставим координаты точки в уравнение касательной:
$$2=2a\cdot(-1)+1-a^2,$$
$$a^2+2a-1=0.$$
$$D=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=8,$$
$$a_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt8}{2}=-1\pm\sqrt2.$$
Тогда касательные:
$$y=2(-1+\sqrt2)x+1-(-1+\sqrt2)^2,$$
$$y=2(-1-\sqrt2)x+1-(-1-\sqrt2)^2.$$
б) $$A(0;0)$$
$$0=1-a^2,$$
$$a=\pm1.$$
Касательные:
при $$a=1$$: $$y=2x,$$
при $$a=-1$$: $$y=-2x.$$
в) $$A(0;-3)$$
$$-3=1-a^2,$$
$$a^2=4,\qquad a=\pm2.$$
Касательные:
при $$a=2$$: $$y=4x-3,$$
при $$a=-2$$: $$y=-4x-3.$$
г) $$A(-1;1)$$
$$1=-2a+1-a^2,$$
$$a^2+2a=0,$$
$$a(a+2)=0,$$
$$a=0 \text{ или } a=-2.$$
Касательные:
при $$a=0$$: $$y=1,$$
при $$a=-2$$: $$y=-4x-3.$$
Ответ
а) $$y=2(-1+\sqrt2)x+1-(-1+\sqrt2)^2$$ и $$y=2(-1-\sqrt2)x+1-(-1-\sqrt2)^2$$; б) $$y=2x$$ и $$y=-2x$$; в) $$y=4x-3$$ и $$y=-4x-3$$; г) $$y=1$$ и $$y=-4x-3$$.
