Упр.29.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Вычислите координаты точек пересечения с осью y тех касательных к графику функции у = (3x — 1) / (x + 8),
которые образуют угол 45 с осью х.
б) Вычислите координаты точек пересечения с осью y тех касательных к графику функции у = (x + 4) / (x — 5),
которые образуют угол 135 с осью х.

а) Для касательной угол наклона к оси $$x$$ равен $$45^\circ$$, значит её угловой коэффициент

$$k=\tan 45^\circ=1.$$

Найдём производную функции

$$y=\frac{3x-1}{x+8}.$$

$$ y’=\frac{(3x-1)'(x+8)-(3x-1)(x+8)’}{(x+8)^2} =\frac{3(x+8)-(3x-1)}{(x+8)^2} =\frac{25}{(x+8)^2}. $$

Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной:

$$ \frac{25}{(x+8)^2}=1 $$

$$ (x+8)^2=25,\quad x+8=\pm 5. $$

Отсюда

$$x_1=-13,\quad x_2=-3.$$

Найдём ординаты точек касания:

$$ f(-13)=\frac{3\cdot(-13)-1}{-13+8}=\frac{-40}{-5}=8, $$

$$ f(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{-3+8}=\frac{-10}{5}=-2. $$

Уравнения касательных:

$$ y=8+1(x+13)=x+21, $$

$$ y=-2+1(x+3)=x+1. $$

Точки пересечения с осью $$y$$ найдём при $$x=0$$:

$$y_1(0)=21,\quad y_2(0)=1.$$

б) Для угла $$135^\circ$$

$$k=\tan 135^\circ=-1.$$

Найдём производную функции

$$y=\frac{x+4}{x-5}.$$

$$ y’=\frac{(x+4)'(x-5)-(x+4)(x-5)’}{(x-5)^2} =\frac{(x-5)-(x+4)}{(x-5)^2} =-\frac{9}{(x-5)^2}. $$

Приравниваем к $$-1$$:

$$ -\frac{9}{(x-5)^2}=-1 $$

$$ (x-5)^2=9,\quad x-5=\pm 3. $$

Отсюда

$$x_1=2,\quad x_2=8.$$

Найдём ординаты точек касания:

$$ f(2)=\frac{2+4}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2, $$

$$ f(8)=\frac{8+4}{8-5}=\frac{12}{3}=4. $$

Уравнения касательных:

$$ y=-2-1(x-2)=-x, $$

$$ y=4-1(x-8)=12-x. $$

Точки пересечения с осью $$y$$:

$$y_1(0)=0,\quad y_2(0)=12.$$

Ответ

а) $$\,(0;21),\ (0;1)\,.$$

б) $$\,(0;0),\ (0;12)\,.$$