Упр.29.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
a) f(x) = sin x, Сѓ = -С…;
Р±) f(x) = cos Р—С…, Сѓ = 0;
РІ) f(x) = tg x, Сѓ = С…;
Рі) f(x) = sin x/3, Сѓ = -1?
а) $$f(x)=\sin x,\quad y=-x$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=-1.$$
Для касательной к графику функции $$f'(x)=\cos x.$$
Тогда
$$\cos x=-1,$$
откуда
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Точка касания:
$$y=\sin(\pi+2\pi n)=0.$$
Значит, точки касания: $$\left(\pi+2\pi n;\,0\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$f(x)=\cos 3x,\quad y=0$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=0.$$
Производная функции:
$$f'(x)=-3\sin 3x.$$
Тогда
$$-3\sin 3x=0,$$
откуда
$$\sin 3x=0,$$
$$3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{\pi n}{3}.$$
Ордината точки касания:
$$y=\cos\left(3\cdot \frac{\pi n}{3}\right)=\cos \pi n=(-1)^n.$$
Точки касания: $$\left(\frac{\pi n}{3};\,(-1)^n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$f(x)=\tg x,\quad y=x$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=1.$$
Производная функции:
$$f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}.$$
Тогда
$$\frac{1}{\cos^2 x}=1,$$
$$\cos^2 x=1,$$
$$\cos x=\pm 1,$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ордината точки касания:
$$y=\tg(\pi n)=0.$$
Точки касания: $$\left(\pi n;\,0\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$f(x)=\sin \frac{x}{3},\quad y=-1$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=0.$$
Производная функции:
$$f'(x)=\frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}.$$
Тогда
$$\frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}=0,$$
$$\cos \frac{x}{3}=0,$$
$$\frac{x}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\frac{3\pi}{2}+3\pi n.$$
Ордината точки касания:
$$y=\sin\left(\frac{1}{3}\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n\right)\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi n\right)=(-1)^n.$$
Точки касания: $$\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;\,(-1)^n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$\left(\pi+2\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z$$
б) $$\left(\frac{\pi n}{3};\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z$$
в) $$\left(\pi n;\,0\right),\ n\in\mathbb Z$$
г) $$\left(\frac{3\pi}{2}+3\pi n;\,(-1)^n\right),\ n\in\mathbb Z$$
