Упр.29.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

параллельна заданной прямой у = kx + m:
а) f(x) = x^3 / 3 — Зx^2 + 10x — 4, у = 3 + х;
б) f(x) = x^4 / 4 — x^2 + 8, у = 0;
в) f(x) = x^3 / 3 — х^2 + 2х — 7, у = х — 3;
г) f(x) = 5/4 x^4 — x^3 + 6, у = 2?

Подробный ответ

а) Для прямой $$y=x+3$$ угловой коэффициент равен $$k=1$$.
Найдём производную функции:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-4$$
$$f'(x)=x^2-6x+10$$
Точки касания найдём из уравнения $$f'(x)=1$$:
$$x^2-6x+10=1$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$\left(x-3\right)^2=0$$
$$x=3$$
Значит, касательная параллельна данной прямой в точке с абсциссой $$x=3$$.
б) Для прямой $$y=0$$ угловой коэффициент равен $$k=0$$.
$$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+8$$
$$f'(x)=x^3-2x$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$x^3-2x=0$$
$$x\left(x^2-2\right)=0$$
$$x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}$$
Следовательно, точки касания имеют абсциссы $$-\sqrt{2},\,0,\,\sqrt{2}$$.
в) Для прямой $$y=x-3$$ угловой коэффициент равен $$k=1$$.
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x-7$$
$$f'(x)=x^2-2x+2$$
Решим уравнение $$f'(x)=1$$:
$$x^2-2x+2=1$$
$$x^2-2x+1=0$$
$$\left(x-1\right)^2=0$$
$$x=1$$
г) Для прямой $$y=2$$ угловой коэффициент равен $$k=0$$.
$$f(x)=\frac{5}{4}x^4-x^3+6$$
$$f'(x)=5x^3-3x^2$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$5x^3-3x^2=0$$
$$x^2\left(5x-3\right)=0$$
$$x=0,\quad x=\frac{3}{5}$$