Упр.29.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45.
Составьте уравнение каждой из этих касательных.

Найдём производную функции:

$$f(x)=x^3-3x^2+x+1$$

$$f'(x)=3x^2-6x+1$$

Касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$45^\circ$$, значит её угловой коэффициент равен

$$k=\tan 45^\circ=1.$$

Тогда

$$3x^2-6x+1=1$$

$$3x^2-6x=0$$

$$3x(x-2)=0$$

Отсюда

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$f(0)=0^3-3\cdot 0^2+0+1=1,$$

$$f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2+1=8-12+2+1=-1.$$

Итак, точки касания: $$ (0;1) $$ и $$ (2;-1). $$

Составим уравнения касательных по формуле

$$y-y_0=k(x-x_0),$$

где $$k=1.$$

Для точки $$ (0;1) $$:

$$y-1=x-0,$$

$$y=x+1.$$

Для точки $$ (2;-1) $$:

$$y+1=x-2,$$

$$y=x-3.$$

Ответ

$$(0;1),\ y=x+1;\quad (2;-1),\ y=x-3.$$