Упр.29.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = ctg 2x, а = пи/4;
б) f(x) = 2tg x/3, a = 0.

1. а) $$f(x)=\ctg 2x,\quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   Найдём значение функции в точке $$x=a$$:

   $$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}=0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\ctg 2x\right)’=-\frac{2}{\sin^2 2x}.$$

   Тогда

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{2}{\sin^2\!\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)}=-\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{2}}=-2.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

   Подставим найденные значения:

   $$y=0-2\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-2x+\frac{\pi}{2}.$$

2. б) $$f(x)=2\tg\frac{x}{3},\quad a=0.$$

   Найдём значение функции в точке $$x=a$$:

   $$f(0)=2\tg\frac{0}{3}=2\tg 0=0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\left(\tg\frac{x}{3}\right)’=2\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{3}}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3\cos^2\frac{x}{3}}.$$

   Тогда

   $$f'(0)=\frac{2}{3\cos^2 0}=\frac{2}{3}.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

   Подставим значения:

   $$y=0+\frac{2}{3}(x-0)=\frac{2}{3}x.$$

Ответ

а) $$y=-2x+\frac{\pi}{2}$$; б) $$y=\frac{2}{3}x$$.