Упр.28.52 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) При каких значениях параметра а касательные к графику
функции у = 4x^2 — |а|x, проведённые в точках его пересечения
с осью x, образуют между собой угол 60?
б) При каких значениях параметра а касательные к графику
функции у = х^2 + |а|х, проведённые в точках его пересечения
с осью х, образуют между собой угол 45?

Подробный ответ

а) $$f(x)=4x^2-|a|x$$
Найдём точки пересечения с осью $$x$$:
$$4x^2-|a|x=0$$
$$x(4x-|a|)=0$$
Отсюда
$$x_1=0,\quad x_2=\frac{|a|}{4}$$
Производная:
$$f'(x)=8x-|a|$$
Угловые коэффициенты касательных в этих точках:
$$k_1=f'(0)=-|a|,\quad k_2=f’\!\left(\frac{|a|}{4}\right)=|a|$$
По формуле угла между прямыми:
$$\tan 60^\circ=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$$
Получаем
$$\left|\frac{|a|-(-|a|)}{1-|a|^2}\right|=\sqrt{3}$$
$$\frac{2|a|}{|1-a^2|}=\sqrt{3}$$
Так как $$|a|=t\ge 0$$, имеем
$$2t=\sqrt{3}\,|1-t^2|$$
Рассмотрим два случая:
$$2t=\sqrt{3}(1-t^2)\quad \Rightarrow \quad \sqrt{3}t^2+2t-\sqrt{3}=0$$
$$t=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$2t=\sqrt{3}(t^2-1)\quad \Rightarrow \quad \sqrt{3}t^2-2t-\sqrt{3}=0$$
$$t=\sqrt{3}$$
Значит,
$$|a|=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad \text{или}\quad |a|=\sqrt{3}$$
Следовательно,
$$a=\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\ \pm\sqrt{3}$$
б) $$f(x)=x^2+|a|x$$
Найдём точки пересечения с осью $$x$$:
$$x^2+|a|x=0$$
$$x(x+|a|)=0$$
Отсюда
$$x_1=0,\quad x_2=-|a|$$
Производная:
$$f'(x)=2x+|a|$$
Угловые коэффициенты касательных:
$$k_1=f'(0)=|a|,\quad k_2=f'(-|a|)=-|a|$$
По формуле угла между прямыми:
$$\tan 45^\circ=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$$
Получаем
$$\left|\frac{-|a|-|a|}{1-|a|^2}\right|=1$$
$$\frac{2|a|}{|1-a^2|}=1$$
Пусть $$t=|a|\ge 0$$. Тогда
$$2t=|1-t^2|$$
Рассмотрим случаи:
$$2t=1-t^2 \quad \Rightarrow \quad t^2+2t-1=0 \quad \Rightarrow \quad t=-1+\sqrt{2}$$
$$2t=t^2-1 \quad \Rightarrow \quad t^2-2t-1=0 \quad \Rightarrow \quad t=1+\sqrt{2}$$
Значит,
$$|a|=\sqrt{2}-1\quad \text{или}\quad |a|=1+\sqrt{2}$$
Следовательно,
$$a=\pm(\sqrt{2}-1),\ \pm(1+\sqrt{2})$$