Упр.28.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f'(x) = sin (3x — пи/3);
б) f'(x) = 4 / cos^2 (5x — 1).

Найдём первообразную для каждой заданной производной.

1. Если $$f'(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right),$$ то подберём функцию, производная которой даёт такой результат:

   $$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right)=-\frac{1}{3}\cdot 3\cdot\left(-\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)\right)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Значит,

   $$f(x)=-\frac{1}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C.$$

2. Если $$f'(x)=\frac{4}{\cos^2(5x-1)},$$ то используем производную тангенса:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{4}{5}\tg(5x-1)\right)=\frac{4}{5}\cdot 5\cdot \frac{1}{\cos^2(5x-1)}=\frac{4}{\cos^2(5x-1)}.$$

   Следовательно,

   $$f(x)=\frac{4}{5}\tg(5x-1)+C.$$

Ответ

а) $$f(x)=-\frac{1}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{3}\right)+C;$$

б) $$f(x)=\frac{4}{5}\tg(5x-1)+C.$$