Упр.28.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) При каких значениях а касательные к графикам функций у = x^7 и у = x^8
в точке x = а не имеют общих точек?
б) При каких значениях а касательные к графикам функций у = корень(x) и у = 2корень(х + 8)
в точке x = а не имеют общих точек?
а) Для функций $$y=x^7$$ и $$y=x^8$$ найдём производные:
$$f'(x)=7x^6,\qquad g'(x)=8x^7.$$
Касательные в точке $$x=a$$ параллельны, если их угловые коэффициенты равны:
$$7a^6=8a^7.$$
Отсюда
$$a^6(7-8a)=0,$$
значит, $$a=0$$ или $$a=\frac78.$$
При $$a=0$$ обе касательные проходят через начало координат, поэтому имеют общую точку. Следовательно, подходит только
$$a=\frac78.$$
б) Для функций $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{x+8}$$ найдём производные:
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x+8}}.$$
Касательные параллельны, если
$$\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a+8}}.$$
Тогда
$$\sqrt{a+8}=2\sqrt{a},$$
$$a+8=4a,$$
$$3a=8,$$
$$a=\frac83.$$
Проверим, не совпадают ли точки касания:
$$\sqrt{\frac83}\ne 2\sqrt{\frac83+8},$$
значит, общих точек у касательных нет.
Ответ
а) $$a=\frac78$$; б) $$a=\frac83$$.
