Упр.28.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите корни уравнения f'(x) = 0, принадлежащие отрезку [0; 2],
если известно, что f(x) = cos^2 x + 1 + sin x.
б) Найдите корни уравнения f'(x) = 0, принадлежащие отрезку [пи/2; 3пи/2],
если известно, что f(x) = sin^2 x — cos x — 1.

а) $$f(x)=\cos^2 x+1+\sin x=\frac{1+\cos 2x}{2}+1+\sin x=\frac12\cos 2x+\sin x+\frac32.$$

Тогда

$$f'(x)=\frac12(\cos 2x)’+(\sin x)’=\frac12\cdot(-2\sin 2x)+\cos x=\cos x-\sin 2x.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$\cos x-\sin 2x=0$$

$$\cos x-2\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(1-2\sin x)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac12.$$

На отрезке $$[0;2]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}, \quad x=\frac{\pi}{6}.$$

б) $$f(x)=\sin^2 x-\cos x-1=\frac{1-\cos 2x}{2}-\cos x-1=-\frac12\cos 2x-\cos x-\frac12.$$

Тогда

$$f'(x)=-\frac12(\cos 2x)’-(-\cos x)’=\sin 2x+\sin x.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$\sin 2x+\sin x=0$$

$$2\sin x\cos x+\sin x=0$$

$$\sin x(2\cos x+1)=0.$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$x=\pi,\quad x=\frac{2\pi}{3},\quad x=\frac{4\pi}{3}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{2}$$

б) $$\frac{2\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3}$$