Упр.28.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а:
a) h(x) = х^2 — 3x + 19, а = 45;
б) h(x) = 4 / (х + 2), а = 135;
в) h(x) = 2корень(2x — 4), а = 60;
г) h(x) = sin (4х — пи/3), а = 0.
а) $$h(x)=x^2-3x+19,\quad \alpha=45^\circ$$
Угол наклона касательной задаёт её угловой коэффициент:
$$h'(x)=2x-3,\qquad \tan 45^\circ=1.$$
Тогда
$$2x-3=1,$$
$$2x=4,$$
$$x=2.$$
б) $$h(x)=\frac{4}{x+2},\quad \alpha=135^\circ$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\left(\frac{4}{x+2}\right)’=-\frac{4}{(x+2)^2}.$$
Так как
$$\tan 135^\circ=-1,$$
получаем уравнение
$$-\frac{4}{(x+2)^2}=-1.$$
Тогда
$$\frac{4}{(x+2)^2}=1,$$
$$ (x+2)^2=4,$$
$$x+2=\pm 2,$$
откуда
$$x=-4,\quad x=0.$$
в) $$h(x)=2\sqrt{2x-4},\quad \alpha=60^\circ$$
Найдём производную:
$$h'(x)=\left(2\sqrt{2x-4}\right)’=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{2x-4}}\cdot 2=\frac{2}{\sqrt{2x-4}}.$$
Так как
$$\tan 60^\circ=\sqrt{3},$$
то
$$\frac{2}{\sqrt{2x-4}}=\sqrt{3}.$$
Следовательно,
$$2=\sqrt{3}\sqrt{2x-4},$$
$$4=3(2x-4),$$
$$4=6x-12,$$
$$6x=16,$$
$$x=\frac{8}{3}.$$
г) $$h(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\quad \alpha=0^\circ$$
Найдём производную:
$$h'(x)=4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right).$$
Так как
$$\tan 0^\circ=0,$$
то
$$4\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$
$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0.$$
Тогда
$$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$
$$4x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,$$
$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$-4,\ 0$$; в) $$\frac{8}{3}$$; г) $$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4},\ n\in \mathbb{Z}$$.
