Упр.28.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

больше скорости изменения функции у = h(x):
a) g(x) = x^3 — Зx^2, h(x) = 1,5x^2 — 9;
б) g(x) = sin (3x — пи/6), h(x) = 6x — 12;
в) g(x) = tg x, h(x) = 4x — 81;
г) g(x) = cos (пи/4 — 2x), h(x) = 3 — корень(2)x.

Подробный ответ

а) $$g(x)=x^3-3x^2,\quad h(x)=1{,}5x^2-9$$
Найдём производные:
$$g'(x)=3x^2-6x,$$
$$h'(x)=3x.$$
Составим неравенство:
$$3x^2-6x>3x$$
$$3x^2-9x>0$$
$$3x(x-3)>0.$$
Произведение положительно, если
$$x<0 \text{ или } x>3.$$
б) $$g(x)=\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right),\quad h(x)=6x-12$$
Найдём производные:
$$g'(x)=3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right),$$
$$h'(x)=6.$$
Составим неравенство:
$$3\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>6$$
$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)>2.$$
Так как $$-1\le \cos t\le 1,$$ это неравенство решений не имеет.
в) $$g(x)=\tg x,\quad h(x)=4x-81$$
Найдём производные:
$$g'(x)=\frac{1}{\cos^2 x},$$
$$h'(x)=4.$$
Составим неравенство:
$$\frac{1}{\cos^2 x}>4.$$
Так как $$\cos x\ne 0,$$ получаем:
$$1>4\cos^2 x,$$
$$\cos^2 x<\frac14,$$
$$-\frac12<\cos x<\frac12.$$
Тогда
$$\frac{\pi}{3}+\pi k<x<\frac{\pi}{2}+\pi k \quad \text{или} \quad \frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{2\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
г) $$g(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right),\quad h(x)=3-\sqrt2\,x$$
Найдём производные:
$$g'(x)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right),$$
$$h'(x)=-\sqrt2.$$
Составим неравенство:
$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\sqrt2$$
$$\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)>-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$-\frac{\pi}{4}+2\pi k<\frac{\pi}{4}-2x<\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Решая двойное неравенство, получаем:
$$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x<\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$