Упр.28.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

образует тупой угол с положительным направлением оси x, если:
а) Ф(x) = sin x + 3;
б) Ф(x) = 0,2x^5 — З 1/3 x^3 + 9x.

Касательная образует тупой угол с положительным направлением оси $$x$$ тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент отрицателен, то есть $$\varphi'(x) < 0$$.

а) $$\varphi(x)=\sin x+3$$

$$ \varphi'(x)=(\sin x+3)’=\cos x $$

Тогда нужно решить неравенство:

$$ \cos x<0 $$

Это выполняется при

$$ \frac{\pi}{2}+2\pi k<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$

б) $$\varphi(x)=0{,}2x^5-3\frac{1}{3}x^3+9x$$

$$ \varphi'(x)=\left(0{,}2x^5-3\frac{1}{3}x^3+9x\right)’=0{,}2\cdot 5x^4-3\frac{1}{3}\cdot 3x^2+9 $$

$$ \varphi'(x)=x^4-10x^2+9 $$

Решаем неравенство:

$$ x^4-10x^2+9<0 $$

Положим $$t=x^2$$. Тогда

$$ t^2-10t+9<0 $$

$$ (t-1)(t-9)<0 $$

Отсюда

$$ 1<t<9 $$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$ 1<x^2<9 $$

$$ x^2>1 \quad \text{и} \quad x^2<9 $$

$$ x<-1 \ \text{или}\ x>1 $$
и одновременно
$$ -3<x<3 $$

Следовательно,

$$ x\in(-3;-1)\cup(1;3). $$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac{\pi}{2}+2\pi k;\frac{3\pi}{2}+2\pi k\right),\ k\in\mathbb Z$$;
б) $$x\in(-3;-1)\cup(1;3)$$.