Упр.28.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = корень(х) — х, k = 1;
б) f(x) = sin x * cos x, k = -корень(2)/2;
в) f(x) = корень(x) + 3x, k = 4;
г) f(x) = cos^2 x, k = 1/2.

1. а) $$f(x)=\sqrt{x}-x,\quad k=1$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’-\left(x\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$$

   Приравняем её к заданному значению:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=1$$

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=2$$

   $$2\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$

   $$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$$

   $$x=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$$

2. б) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x,\quad k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x\cdot(\cos x)’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$

   Составим уравнение:

   $$\cos 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Тогда

   $$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

3. в) $$f(x)=\sqrt{x}+3x,\quad k=4$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’+(3x)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+3$$

   Приравняем к 4:

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}+3=4$$

   $$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$

   $$2\sqrt{x}=1$$

   $$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$

   $$x=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

4. г) $$f(x)=\cos^2 x,\quad k=\frac{1}{2}$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=(\cos x)^2{}’ = 2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$$

   Составим уравнение:

   $$-\sin 2x=\frac{1}{2}$$

   $$\sin 2x=-\frac{1}{2}$$

   Тогда

   $$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

а) $$\frac{1}{16}$$; б) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$.