Упр.28.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) y = xtg x;
б) у = sin x * tg x;
в) y = xctg x;
г) у = cos x * ctg x.
Решение
$$y=x\tg x$$
По правилу произведения:
$$y’=(x)’\tg x+x(\tg x)’=1\cdot \tg x+x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$y’=\tg x+\frac{x}{\cos^2 x}$$
$$y=\sin x\cdot \tg x$$
По правилу произведения:
$$y’=(\sin x)’\tg x+\sin x\cdot (\tg x)’=\cos x\cdot \tg x+\sin x\cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$
$$y’=\sin x+\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^2 x}\right)$$
$$y=x\ctg x$$
По правилу произведения:
$$y’=(x)’\ctg x+x(\ctg x)’=1\cdot \ctg x+x\cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$$
$$y’=\ctg x-\frac{x}{\sin^2 x}$$
$$y=\cos x\cdot \ctg x$$
По правилу произведения:
$$y’=(\cos x)’\ctg x+\cos x\cdot (\ctg x)’=-\sin x\cdot \ctg x-\cos x\cdot \frac{1}{\sin^2 x}$$
$$y’=-\cos x-\frac{\cos x}{\sin^2 x}=-\cos x\left(1+\frac{1}{\sin^2 x}\right)$$
Ответ
а) $$y’=\tg x+\frac{x}{\cos^2 x}$$; б) $$y’=\sin x\left(1+\frac{1}{\cos^2 x}\right)$$; в) $$y’=\ctg x-\frac{x}{\sin^2 x}$$; г) $$y’=-\cos x\left(1+\frac{1}{\sin^2 x}\right)$$.
