Упр.26.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) lim (корень(x + 6) — 3) / (x^2 — 3x);
x — > 3
Р±) lim (корень(2x + 3) — корень(2x — 7)).
x — > бесконечность

а) Рассмотрим предел

$$\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}.$$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

$$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}\cdot\frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+6}+3} = \lim_{x\to 3}\frac{x+6-9}{(x^2-3x)(\sqrt{x+6}+3)}. $$

Упростим:

$$ \lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x(x-3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x\to 3}\frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)}. $$

Подставим $x=3$:

$$ \frac{1}{3(\sqrt{9}+3)}=\frac{1}{3(3+3)}=\frac{1}{18}. $$

б) Рассмотрим предел

$$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7}\right).$$

Умножим на сопряжённое выражение:

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})(\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7})}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}} = \lim_{x\to\infty}\frac{(2x+3)-(2x-7)}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}}. $$

Получаем:

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{10}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-7}}=0, $$

так как знаменатель стремится к бесконечности.

Ответ

а) $$\frac{1}{18}$$; б) $$0$$.