Упр.26.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) lim (1 — cos С…) / x^2;
x — > 0
Р±) lim (sin 7С… — sin Р—С…) / (sin 8С… — sin 2С…).
x — > 0

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$$

   Используем формулу $$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$:

   $$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{2}\cdot \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot \frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} $$

   $$ =\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2} $$

2. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x}$$

   Применим формулу разности синусов:

   $$ \sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2} $$

   $$ \sin 7x-\sin 3x=2\cos 5x\sin 2x, \qquad \sin 8x-\sin 2x=2\cos 5x\sin 3x $$

   $$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 7x-\sin 3x}{\sin 8x-\sin 2x} = \lim_{x\to 0}\frac{2\cos 5x\sin 2x}{2\cos 5x\sin 3x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x} $$

   $$ = \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x}\cdot\frac{3x}{\sin 3x}\cdot\frac{2}{3} = 1\cdot 1\cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $$

Ответ

а) $$\frac{1}{2}$$; б) $$\frac{2}{3}$$.