Упр.25.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) -6 + 2/3 — 2/27 + 2/243 — …;
б) 3 + корень(3) + 1 + 1/корень(3) + …;
в) 49 — 14 + 4 — 8/7 + …;
г) 4 + 2корень(2) + 2 + корень(2) + ….

Подробный ответ

а) $$-6+\frac{2}{3}-\frac{2}{27}+\frac{2}{243}-\dots$$
Это бесконечная геометрическая прогрессия, где
$$b_1=-6,\quad b_2=\frac{2}{3},\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2/3}{-6}=-\frac{1}{9}.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-6}{1-(-1/9)}=\frac{-6}{10/9}=-\frac{54}{10}=-5{,}4.$$
б) $$3+\sqrt{3}+1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\dots$$
Здесь
$$b_1=3,\quad b_2=\sqrt{3},\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$S=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{3\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}.$$
в) $$49-14+4-\frac{8}{7}+\dots$$
Это геометрическая прогрессия, где
$$b_1=49,\quad b_2=-14,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-14}{49}=-\frac{2}{7}.$$
Тогда
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{49}{1-(-2/7)}=\frac{49}{9/7}=\frac{343}{9}=38\frac{1}{9}.$$
г) $$4+2\sqrt{2}+2+\sqrt{2}+\dots$$
Здесь
$$b_1=4,\quad b_2=2\sqrt{2},\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Сумма:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{8}{2-\sqrt{2}}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$S=\frac{8(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}=\frac{8(2+\sqrt{2})}{4-2}=4(2+\sqrt{2}).$$