Упр.25.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin x + sin^2 x + sin^3 x + … + sin^n x + …;
б) cos x — cos^2 x + cos^3 x — cos^4 x + …;
в) cos^2 x + cos^4 x + cos^6 x + cos^8 x + …;
г) 1 — sin^3 x + sin^6 x — sin^9 x + ….

1. а) Это сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$b_1=\sin x,\quad q=\sin x.$$

   Тогда

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\sin x}{1-\sin x}.$$

2. б) Здесь также геометрическая прогрессия:

   $$b_1=\cos x,\quad q=-\cos x.$$

   Следовательно,

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\cos x}{1+\cos x}.$$

3. в) Имеем прогрессию с первым членом $$b_1=\cos^2 x$$ и знаменателем $$q=\cos^2 x$$.

   Тогда

   $$S=\frac{\cos^2 x}{1-\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\ctg^2 x.$$

4. г) Это геометрическая прогрессия:

   $$b_1=1,\quad q=-\sin^3 x.$$

   Значит,

   $$S=\frac{1}{1-(-\sin^3 x)}=\frac{1}{1+\sin^3 x}.$$

Ответ

а) $$\frac{\sin x}{1-\sin x}$$; б) $$\frac{\cos x}{1+\cos x}$$; в) $$\ctg^2 x$$; г) $$\frac{1}{1+\sin^3 x}$$.