Упр.25.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

что её сумма равна 18, а сумма квадратов её членов равна 162.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=18,$$

откуда

$$b_1=18(1-q).$$

Сумма квадратов членов геометрической прогрессии тоже образует геометрическую прогрессию со знаменателем $$q^2$$, поэтому

$$S_{\text{кв}}=\frac{b_1^2}{1-q^2}=162.$$

Подставим $$b_1=18(1-q)$$:

$$ \begin{aligned} \frac{18^2(1-q)^2}{1-q^2}&=162,\\ \frac{18^2(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}&=162,\\ 18(1-q)&=9(1+q). \end{aligned} $$

Решим уравнение:

$$ \begin{aligned} 18-18q&=9+9q,\\ 27q&=9,\\ q&=\frac13. \end{aligned} $$

Тогда

$$b_1=18\left(1-\frac13\right)=18\cdot\frac23=12.$$

Искомая геометрическая прогрессия:

$$12,\ 4,\ \frac43,\ \frac49,\dots$$

Ответ

$$b_1=12,\quad q=\frac13.$$