Упр.24.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) если последовательность имеет предел, то она монотонна;
б) если последовательность монотонна, то она имеет предел;
в) если последовательность ограничена, то она имеет предел;
г) если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?
Приведите примеры, подтверждающие или опровергающие это утверждение.

1. а) Утверждение неверно. Например, последовательность

   $$a_n=\frac{1}{n-4}$$

   имеет предел

   $$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n-4}=0,$$

   но она не является монотонной, так как

   $$a_3=\frac{1}{3-4}=-1,\quad a_5=\frac{1}{5-4}=1,\quad a_6=\frac{1}{6-4}=\frac12,$$

   и значения не идут только в одном направлении.

2. б) Утверждение неверно. Например, последовательность

   $$a_n=n$$

   монотонно возрастает, так как

   $$a_{k+1}-a_k=(k+1)-k=1>0,$$

   но предела не имеет, поскольку

   $$\lim_{n\to\infty} n=+\infty.$$

3. в) Утверждение неверно. Например, последовательность

   $$a_n=\sin n$$

   ограничена, так как

   $$-1\le \sin n\le 1,$$

   но предела не имеет.

4. г) Утверждение неверно. Например, последовательность

   $$a_n=\frac{2}{n-3}$$

   не является монотонной, но имеет предел:

   $$\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n-3}=0.$$

Ответ

а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.