Упр.24.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos1, cos2, cos3, …, cos n, …;
б) sin 1 / 1, — sin 2 / 2, sin 3 / 3, …, ((-1)^(n — 1) sin n) / n, …;
в) tg пи/4, tg 3пи/4, tg 5пи/4, …, tg пи/4(2n — 1), …;
г) ctg пи/2, ctg пи/3, ctg пи/4, …, ctg пи/(n + 1), ….

1. $$a_n=\cos n.$$

   Так как для любого числа $$x$$ выполняется $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-1\le a_n\le 1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

2. $$a_n=\frac{(-1)^{n-1}\sin n}{n}.$$

   Имеем $$|(-1)^{n-1}|=1,$$ $$|\sin n|\le 1,$$ а также $$n\ge 1,$$ значит

   $$\left|a_n\right|=\frac{|\sin n|}{n}\le 1.$$

   Следовательно, последовательность ограничена.

3. $$a_n=\tg\frac{\pi}{4},\ \tg\frac{3\pi}{4},\ \tg\frac{5\pi}{4},\ldots,\tg\frac{(2n-1)\pi}{4},\ldots$$

   Для любого $$n$$

   $$a_n=\tg\frac{(2n-1)\pi}{4}=\pm 1.$$

   Значит, $$a_n\in\{-1,1\},$$ и последовательность ограничена.

4. $$a_n=\ctg\frac{\pi}{2},\ \ctg\frac{\pi}{3},\ \ctg\frac{\pi}{4},\ldots,\ctg\frac{\pi}{n+1},\ldots$$

   Здесь $$\frac{\pi}{n+1}\to 0,$$ а при $$x\to 0+$$

   $$\ctg x\to +\infty.$$

   Следовательно, последовательность не ограничена.

Ответ

Ограниченными являются последовательности а), б), в); последовательность г) не ограничена.