Упр.24.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 1/3125, 1/625, 1/125, …;
б) 6/377, 11/379, 16/381, …;
в) 2/729, 2/243, 2/81, …;
г) 2/219, 9/222, 16/225, …
не превосходит единицы?

1. а) Последовательность геометрическая, так как каждый следующий член в 5 раз больше предыдущего:

   $$b_1=\frac{1}{3125},\quad q=5.$$

   Тогда

   $$b_n=\frac{1}{3125}\cdot 5^{n-1}=5^{-5}\cdot 5^{n-1}=5^{n-6}.$$

   Найдём, при каких $n$ выполняется неравенство:

   $$5^{n-6}\le 1.$$

   Так как $5>1$, получаем

   $$n-6\le 0,\quad n\le 6.$$

   Значит, таких членов 6.

2. б) Имеем

   $$\frac{6}{377},\ \frac{11}{379},\ \frac{16}{381},\dots$$

   Числитель увеличивается на $5$, знаменатель — на $2$, поэтому

   $$a_n=\frac{5n+1}{2n+375}.$$

   Решим неравенство:

   $$\frac{5n+1}{2n+375}\le 1.$$

   Так как $2n+375>0$, умножаем обе части на знаменатель:

   $$5n+1\le 2n+375,$$

   $$3n\le 374,$$

   $$n\le \frac{374}{3}.$$

   Следовательно, $n\le 124$, значит, таких членов 124.

3. в) Это геометрическая прогрессия:

   $$b_1=\frac{2}{729},\quad q=3.$$

   Тогда

   $$b_n=\frac{2}{729}\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^{-6}\cdot 3^{n-1}=2\cdot 3^{n-7}.$$

   Ищем, при каких $n$:

   $$2\cdot 3^{n-7}\le 1.$$

   Проверим соседние члены: при $n=6$ получаем

   $$b_6=2\cdot 3^{-1}=\frac{2}{3}<1,$$

   а при $n=7$

   $$b_7=2\cdot 3^0=2>1.$$

   Значит, не превосходят единицы первые 6 членов.

4. г) Последовательность задаётся формулой

   $$a_n=\frac{7n-5}{3n+216}.$$

   Решим неравенство:

   $$\frac{7n-5}{3n+216}\le 1.$$

   Так как $3n+216>0$, получаем

   $$7n-5\le 3n+216,$$

   $$4n\le 221,$$

   $$n\le 55{,}25.$$

   Следовательно, $n\le 55$, значит, таких членов 55.

Ответ

а) 6; б) 124; в) 6; г) 55.