Упр.24.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) yn = sin nпи/2 — ctg пи/4 (2n + 1);
б) yn = cos nпи/2 + tg пи/4 (2n + 1);
в) yn = n sin nпи/2 + n2 cos nпи/2;
г) yn = sin nпи/4 — n cos nпи/4.

Подробный ответ

$$y_n=\sin \frac{n\pi}{2}-\ctg \frac{\pi}{4}(2n+1)$$
Так как $$\ctg \frac{\pi}{4}=1,$$ получаем:
$$ y_n=\sin \frac{n\pi}{2}-(2n+1) $$
Вычислим первые пять членов:
$$ y_1=\sin \frac{\pi}{2}-3=1-3=-2 $$
$$ y_2=\sin \pi-5=0-5=-5 $$
$$ y_3=\sin \frac{3\pi}{2}-7=-1-7=-8 $$
$$ y_4=\sin 2\pi-9=0-9=-9 $$
$$ y_5=\sin \frac{5\pi}{2}-11=1-11=-10 $$
$$y_n=\cos \frac{n\pi}{2}+\tg \frac{\pi}{4}(2n+1)$$
Так как $$\tg \frac{\pi}{4}=1,$$ получаем:
$$ y_n=\cos \frac{n\pi}{2}+(2n+1) $$
Вычислим первые пять членов:
$$ y_1=\cos \frac{\pi}{2}+3=0+3=3 $$
$$ y_2=\cos \pi+5=-1+5=4 $$
$$ y_3=\cos \frac{3\pi}{2}+7=0+7=7 $$
$$ y_4=\cos 2\pi+9=1+9=10 $$
$$ y_5=\cos \frac{5\pi}{2}+11=0+11=11 $$
$$y_n=n\sin \frac{n\pi}{2}+n^2\cos \frac{n\pi}{2}$$
Вычислим первые пять членов:
$$ y_1=1\cdot \sin \frac{\pi}{2}+1^2\cdot \cos \frac{\pi}{2}=1+0=1 $$
$$ y_2=2\cdot \sin \pi+2^2\cdot \cos \pi=0-4=-4 $$
$$ y_3=3\cdot \sin \frac{3\pi}{2}+3^2\cdot \cos \frac{3\pi}{2}=-3+0=-3 $$
$$ y_4=4\cdot \sin 2\pi+4^2\cdot \cos 2\pi=0+16=16 $$
$$ y_5=5\cdot \sin \frac{5\pi}{2}+5^2\cdot \cos \frac{5\pi}{2}=5+0=5 $$
$$y_n=\sin \frac{n\pi}{4}-n\cos \frac{n\pi}{4}$$
Вычислим первые пять членов:
$$ y_1=\sin \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=0 $$
$$ y_2=\sin \frac{\pi}{2}-2\cos \frac{\pi}{2}=1-0=1 $$
$$ y_3=\sin \frac{3\pi}{4}-3\cos \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-3\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2 $$
$$ y_4=\sin \pi-4\cos \pi=0-4(-1)=4 $$
$$ y_5=\sin \frac{5\pi}{4}-5\cos \frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}-5\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=2\sqrt2 $$