Упр.23.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

cos^2 (45 — а) — cos^2 (60 + а) — cos 75 * sin (75 — 2а) = sin 2а.

Используем формулы:

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos A\sin B=\frac{\sin(B+A)+\sin(B-A)}{2}.$$

Тогда

$$ \cos^2(45^\circ-a)-\cos^2(60^\circ+a)-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)= $$

$$ =\frac{1+\cos(90^\circ-2a)}{2}-\frac{1+\cos(120^\circ+2a)}{2}-\cos75^\circ\sin(75^\circ-2a). $$

Преобразуем произведение:

$$ \cos75^\circ\sin(75^\circ-2a)=\frac{\sin(150^\circ-2a)+\sin(-2a)}{2}. $$

Подставим и упростим:

$$ \frac{1+\cos(90^\circ-2a)-1-\cos(120^\circ+2a)-\sin(150^\circ-2a)-\sin(-2a)}{2}. $$

Так как $$\cos(90^\circ-2a)=\sin2a,$$ $$\cos(120^\circ+2a)=\cos\bigl(90^\circ+(30^\circ+2a)\bigr)=-\sin(30^\circ+2a),$$

$$\sin(150^\circ-2a)=\sin\bigl(180^\circ-(30^\circ+2a)\bigr)=\sin(30^\circ+2a),$$

$$\sin(-2a)=-\sin2a,$$

получаем

$$ \frac{\sin2a+\sin(30^\circ+2a)-\sin(30^\circ+2a)+\sin2a}{2}=\sin2a. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$\sin2a$$