Упр.23.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = sin (x + пи/8) * cos (x — пи/24);
б) f(x) = sin (x — пи/3) * sin (x + пи/3).

1. а) Преобразуем произведение по формуле

   $$\sin \alpha \cos \beta=\frac12\bigl(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr).$$

   Тогда

   $$ f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\cos\left(x-\frac{\pi}{24}\right) =\frac12\left(\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\sin\frac{\pi}{6}\right). $$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12,$$ получаем

   $$ f(x)=\frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)+\frac14. $$

   Поскольку $$-1\le \sin t\le 1,$$ то

   $$ -\frac12\le \frac12\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\le \frac12. $$

   Прибавим $$\frac14$$:

   $$ -\frac14\le f(x)\le \frac34. $$

2. б) Используем формулу

   $$\sin \alpha \sin \beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr).$$

   Тогда

   $$ f(x)=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right) =\frac12\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)-\cos 2x\right). $$

   Так как $$\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,$$ то

   $$ f(x)=-\frac14-\frac12\cos 2x. $$

   Поскольку $$-1\le \cos 2x\le 1,$$ имеем

   $$ -\frac12\le -\frac12\cos 2x\le \frac12. $$

   Прибавим $$-\frac14$$:

   $$ -\frac34\le f(x)\le \frac14. $$

Ответ

а) $$f_{\min}=-\frac14,\quad f_{\max}=\frac34.$$

б) $$f_{\min}=-\frac34,\quad f_{\max}=\frac14.$$