Упр.22.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) (sin 2а + sin 6а) / (cos 2а + cos 6а) = tg 4a;
6) (cos 2a — cos 4a) / (cos 2a + cos 4a) = tg 3a * tg a.

а) Используем формулы суммы синусов и суммы косинусов:

$$ \frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a} = \frac{2\sin \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}}{2\cos \frac{2a+6a}{2}\cos \frac{2a-6a}{2}} = \frac{2\sin 4a\cos(-2a)}{2\cos 4a\cos(-2a)} = \frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \tg 4a. $$

Тождество доказано.

б) Воспользуемся формулой разности косинусов:

$$ \frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a} = \frac{-2\sin \frac{2a+4a}{2}\sin \frac{2a-4a}{2}}{2\cos \frac{2a+4a}{2}\cos \frac{2a-4a}{2}} = \frac{-2\sin 3a\sin(-a)}{2\cos 3a\cos(-a)} = \frac{\sin 3a\sin a}{\cos 3a\cos a} = \tg 3a\cdot \tg a. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{\sin 2a+\sin 6a}{\cos 2a+\cos 6a}=\tg 4a,\qquad \frac{\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}=\tg 3a\cdot \tg a. $$